已知X+Y=4 求证X^2+Y^2大于等于8

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 22:36:50
RT
跪求3种不同的方法解答~
谢谢

因为x+y=4,
所以x=4-y,
所以x^2+y^2
=(4-y)^2+y^2
=y^2-8y+16+y^2
=2y^2-8y+16
=2(y^2-4y+4+4)
=2(y-2)^2+8,
因为(y-2)^2≥0，
所以x^2+y^2=2(y-2)^2+8≥8.

1、x+y=4
两边平方得
x^2+y^2+2xy=16
X^2+Y^2>=2XY
X^2+Y^2>=8
2、y=4-x 代入 X^2+Y^2
x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16
=2(x-2)^2+8>=8

依题意可知：
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=16,则2xy=16-x^2-y^2
因为x+y>=2*sqr(xy)
化简： x+y>=sqr(2*(16-x^2-y^2))
3(x^2+y^2)>=32-2xy
将2xy=16-x^2-y^2代入，得：
2(x^2+y^2)>=16
所以 x^2+y^2>=8

我只会一种，不好意思。
证明：
X^2+Y^2=（X+Y）^2-2XY
因为XY最大为4
所以2XY不大于8
所以X^2+Y^2大于等于8

等式两边平方得
X^2+Y^2+2XY=16
因为X^2+Y^2>=2XY(因为X^2+Y^2-2XY=(X-Y)^2>=0)
所以X^2+y^2>=8

x+y=4
x=y-4
x^2+y^2=(y-4)^2+y^2=2y^2-8y+16=2(y-2)^2+8
因为2(y-2)^2>=0
所以2（Y-2)^2+8>=8